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真正的线性基
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发布时间:2019-03-04

本文共 1825 字,大约阅读时间需要 6 分钟。

题目

题目背景

你知道线性基是什么吗?是线性无关的向量的数量。

我们常常在 m o d    2 \rm mod\;2 mod2 意义下进行操作。“这不公平”,陈涛炎低语,“明明 m o d \rm mod mod k k k 意义下也是良定义的!”

题目描述

维护一个集合,最初为空集,支持两种操作:

  • 加入一个新数字 x x x
  • 对于一个数字 x x x,求出它 “异或” 上集合内的一些数(可以多次使用某个数字)能够得到的最大数字。此处 “异或” 是 k k k 进制下不进位加法。

数据范围与提示

k k k 显然不需要限制,但是 x ≤ 1 0 7 x\le 10^7 x107 。最多 1 0 5 10^5 105 次操作。

思路

只要二进制会做,那么    k    \sout{\;k\;} k进制就会做

本质还是高斯消元,使其成为上三角矩阵。但是 k k k 不一定是质数,逆元未必存在?

我蠢了。不需要保证已有数字不改变,只要维护的是一个上三角矩阵就行。所以我们可以利用 更相减损 让其中一个向量的最高位 = 0 =0 =0 。然后插入即可。正确性的证明同二进制线性基。

然后来到了喜闻乐见的查询环节。在二进制下,异或两次就等于没异或,所以容易判断。但是在这里,一个数的异或次数是不固定的。更糟的是,很有可能有多种方式取得最大值。

举个例子。当前 k = 8 k=8 k=8,最高位 = 6 =6 =6,初始数字 x = 0 x=0 x=0 。显然异或一次得到 6 6 6 是最好的。但是,异或五次同样可以得到 6 6 6,而且对后面有影响!

这里就要用一个类似 完全背包 的操作了。因为,我们确信,如果最高位是 v ( v ≠ 0 ) v(v\ne 0) v(v=0),那么异或这个数 k gcd ⁡ ( k , v ) \frac{k}{\gcd(k,v)} gcd(k,v)k 次,在当前位的异或值不会变。那么,只要在线性基里额外插入一个当前位置的数的 k gcd ⁡ ( k , v ) \frac{k}{\gcd(k,v)} gcd(k,v)k 次异或值,就会 自动完成对后面位置的修正

最后算一下时间复杂度。首先计算插入。不妨设 k ≤ x k\le x kx,否则整个算法是 O ( q + log ⁡ x ) \mathcal O(q+\log x) O(q+logx) 的。辗转相除最多 O ( log ⁡ 2 k ) \mathcal O(\log_2 k) O(log2k) 次,每次要 O ( log ⁡ k x ) \mathcal O(\log_kx ) O(logkx) 把一整行的信息全部修改,并且每个数字必然从头到尾访问所有 O ( log ⁡ k x ) \mathcal O(\log_k x) O(logkx) 个元素(因为有了上面的 “修正法案”,插入成功也会继续往下尝试插入),复杂度 O ( log ⁡ 2 x ⋅ log ⁡ k x ) \mathcal O(\log_2 x\cdot \log_k x) O(log2xlogkx)

然后计算查询。仍然设 k ≤ x k\le x kx,否则整个算法是 O ( q log ⁡ x ) \mathcal O(q\log x) O(qlogx) 的。对于每一位,我们要计算当前位可以得到的最大值,即 v − gcd ⁡ ( v , x 0 ) v-\gcd(v,x_0) vgcd(v,x0),这需要 O ( log ⁡ 2 k ) \mathcal O(\log_2 k) O(log2k) 。然后是 O ( log ⁡ k x ) \mathcal O(\log_k x) O(logkx) 的行向量操作。一共 O ( log ⁡ k x ) \mathcal O(\log_k x) O(logkx) 行,总复杂度竟然只有 O ( log ⁡ 2 x + log ⁡ k 2 x ) \mathcal O(\log_2 x+\log_k^2x) O(log2x+logk2x)

k = 2 k=2 k=2,最坏复杂度为 O ( q log ⁡ 2 x ) \mathcal O(q\log^2 x) O(qlog2x),竟然只比二进制线性基多了一个 log ⁡ \log log 而已!惊为天人!

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