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题目

题目背景

我们常常在 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2$ 意义下进行操作。“这不公平”，陈涛炎低语，“明明 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$ $k$ 意义下也是良定义的！”

题目描述

• 加入一个新数字 $x$ 。
• 对于一个数字 $x$，求出它 “异或” 上集合内的一些数（可以多次使用某个数字）能够得到的最大数字。此处 “异或” 是 $k$ 进制下不进位加法。

数据范围与提示

思路

只要二进制会做，那么$\sout{k}$进制就会做。

本质还是高斯消元，使其成为上三角矩阵。但是 $k$ 不一定是质数，逆元未必存在？

我蠢了。不需要保证已有数字不改变，只要维护的是一个上三角矩阵就行。所以我们可以利用 更相减损 让其中一个向量的最高位 $=0$ 。然后插入即可。正确性的证明同二进制线性基。

然后来到了喜闻乐见的查询环节。在二进制下，异或两次就等于没异或，所以容易判断。但是在这里，一个数的异或次数是不固定的。更糟的是，很有可能有多种方式取得最大值。

举个例子。当前 $k=8$，最高位 $=6$，初始数字 $x=0$ 。显然异或一次得到 $6$ 是最好的。但是，异或五次同样可以得到 $6$，而且对后面有影响！

这里就要用一个类似 完全背包 的操作了。因为，我们确信，如果最高位是 $v(v\ne 0)$，那么异或这个数 $\frac{k}{\gcd (k,v)}$ 次，在当前位的异或值不会变。那么，只要在线性基里额外插入一个当前位置的数的 $\frac{k}{\gcd (k,v)}$ 次异或值，就会 自动完成对后面位置的修正。

最后算一下时间复杂度。首先计算插入。不妨设 $k\le x$，否则整个算法是 $\mathcal{O}(q+\log x)$ 的。辗转相除最多 $\mathcal{O}({\log }_{2}k)$ 次，每次要 $\mathcal{O}({\log }_{k}x)$ 把一整行的信息全部修改，并且每个数字必然从头到尾访问所有 $\mathcal{O}({\log }_{k}x)$ 个元素（因为有了上面的 “修正法案”，插入成功也会继续往下尝试插入），复杂度 $\mathcal{O}({\log }_{2}x\cdot {\log }_{k}x)$ 。

然后计算查询。仍然设 $k\le x$，否则整个算法是 $\mathcal{O}(q\log x)$ 的。对于每一位，我们要计算当前位可以得到的最大值，即 $v-\gcd (v,x_0)$，这需要 $\mathcal{O}({\log }_{2}k)$ 。然后是 $\mathcal{O}({\log }_{k}x)$ 的行向量操作。一共 $\mathcal{O}({\log }_{k}x)$ 行，总复杂度竟然只有 $\mathcal{O}({\log }_{2}x+{\log }_k^{2}x)$ 。

取 $k=2$，最坏复杂度为 $\mathcal{O}(q{\log }^{2}x)$，竟然只比二进制线性基多了一个 $\log$ 而已！惊为天人！

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